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研究成果
解题活动的开展应立足思维训练
发布时间:2014-11-02 00:00:00  发布人:丁益民

解题活动的开展应立足思维训练

——从2012年江苏高考卷几题谈起

丁益民(江苏省苏州实验中学)  

《数学通讯》2013年第2

摘要:解题教学是数学教学中的重要环节,通过剖析解题活动中的操作环节的规律,让解题活动成为思维训练的途径,结合2012年江苏高考卷中几例针对性地谈谈解题活动中:思维的起点,思维方式的改善,思维层次感和敏捷性得以训练的手段.

关键词:解题活动   思维起点   改善思维   思维层次感  思维敏捷性  

 

解题教学是数学中很重要的教学环节,但传统的解题教学往往侧重于方法与技巧的传授,往往忽视深入到解题系统内部,更不可能从思维训练上去进行解题教学.实际上,通过对解题活动中每个操作步骤以及操作步骤的活动规律的研究, 从规范性和合理性上引导学生进行数学思维,这对训练学生良好的思维品质是大有好处的.本文借2012年江苏高考数学卷的几题谈谈以思维训练为立足点的解题教学.

1 结构特征分析应成为思维活动的起点

在解题过程中,为了实现条件向结论的有效转化,大家经常需要分析题目的外形结构特征,将之与已有认知结构中的公式、方程、函数、不等式、几何图形进行联系,构造出一个新的关系结构系统来实现原问题的解决.这种思维活动的特点在于“构造”,而构造的成功与否除需要扎实的基础常识和创造性思维外,很大程度上依赖于对题目结构特征的正确分析.

1(江苏高考第14题)已知正数 满足: 的取值范围是       

本例所呈现条件的外在结构是具有三元的不等式组,如此仅仅停留在表象特征分析,将之上升到变量间的相互关系(通常从运算方式、系数关系、指数形式等方面)看是齐次不等式,且变量相对比较独立分散,这显然对问题的解决不具有凝聚性,于是寻求一种能将齐次式结构中分散的变量进行集中处理的方式——通常是将其同除一个式,进一步将它处理成变量相对集中的等价式.据此,注意到待求目标中没有字母c,也就是说通过某种策略转化或消去了字母c,而这一策略便是同时除以一个式的操作,即

不难看出,零散着的变量处理后变得集中,更容易产生运用换元代换的策略来处理:

,即 ,求 的范围,接下来的操作就是熟悉的基本问题了.

2 换元变换思想应致力于改善思维方式

为了把繁难的问题变为简易的问题,把繁杂的解析式化为简单的解析式,大家常常引进新的辅助量,用新的辅助量替换题设中的未知量(或式),把复杂和未知转化为简单和已知.若是仅仅将换元变换作为一种方法与技巧来教学,那么就失去了它本应具有的思维训练价值,也就不能发挥出它具有改善思维方式的功能.

2(江苏高考第11题)设 为锐角,若 ,则 的值为          

基本策略是变角求值,通常的变换途径是: ,显然两次角的转换都是复角间的运算,且在第二次转换时会困扰部分学生要不要做下去,其中所需的判断力和运算力都是较高的,倘若大家一开始就化复角为单角,进行如下的变换:令 ,则变换途径是 ,即问题转换成:“ 的值为        ”,问题即变得相对轻松简单.

很明显,绝大部分学生都知道此类问题的操作要领是寻找角之间的关系,消除角之间的差异,用已知角来表示待求角.实践证明,正是由于“复角”间的运算的复杂性和隐蔽性,使得找角关系时往往出现不知如何去寻找关系,不能配凑出已知角与未知角的关联链,导致思维对象的混乱或断裂,影响了解题系统自身的平衡性.但是,通过换元代换将已知条件中复角变为单角,这一处理实质上是将思维对象的抽象程度弱化到学生习惯操作的正向思维上来,显然学生较易操作自己习惯且有经验的思维活动,这就突显出换元变换思想在引导和调整思维习惯与方式有积极的意义.因此,在平时教学中不是仅仅将“换元”当成一种外在形式化的方法进行教学,而应将之上升至改善思维结构、帮助优化思维品质的高度,这样才发挥出这一核心思想的价值功能.

3 整体处理与局部处理应是训练思维层次感的重要操作

大家经常遇到比较复杂的问题,需要将之分解成若干易操作的模块,对模块进行局部处理,再将之组合成整体所需要的信息,这一过程的思维过程为从整体到部分再回到整体,这其中的思维切换具有较强的层次感,思维的层次感体现在先将整体分成几个较易操作的部分,对这独立的几个部分的处理是跳出整体进行局部操作(当然是在整体目标不偏移的前提下),再将研究好的局部关系(包含各个对象之间直接和间接的逻辑关系与因果联系等)整合成整体需要的各个要素,这一过程极大程度地训练了解题者较强的思维层次感.

3(江苏高考第18题第3)已知ab是实数,1 是函数 的两个极值点.设 ,其中 ,求函数 的零点个数.

问题转化 研究 (前面已求得 )与 的交点个数(整体处理

为了研究

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