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研究成果
高考复习“三角化简求值”问题的三点做法
发布时间:2014-11-02 00:00:00  发布人:丁益民

高考复习“三角化简求值”问题的三点做法

     江苏省苏州实验中学    丁益民(215011

《中学数学研究》2012年第12

三角化简求值是高中数学复习中重要的内容之一,教师在这部分复习时,往往只侧重于技巧与方法的讲授,加之这部分内容常识点多且方法灵活,成为很多学生的绊脚石.为了更好地提高复习的有效性,大家可从“对象间的关联、算理、表征能力三方面来复习三角化简求值.实践表明,从这三方面进行复习,可以帮助学生理顺常识关系,形成清晰明了的解题方式,并站在理性的角度进行合理运算.

1通过“框图”进行常识梳理,贯通解题思路

高三数学复习不免有大量的练习题,真可谓题海茫茫,学生苦不堪言,能否寻找一套行之有效的方法让学生脱离浩瀚题海呢?让学生做一道通一类,达到事半功倍的效果,减少不必要的重复劳动.在复习三角化简求值时很多相关联的题目纷纷而来,学生应接不暇,大家可以让学生从做过的习题间去寻找联系,运用“框图”直观形象地勾勒出解决这些相似或相关联问题的基本模式和基本途径,形成流畅而自然的思维走向,以找到贯通它们之间的“基本路线”.

1 题组1:

(1)已知 , ;

(2) 已知 , 的值.

1

题组2:

(1) ,计算 ;

(2) ,计算 .

通过教师引导,学生们可以提炼与改进,得到如图1的框图式小结.

学生可以通过图1清晰地看出此类习题间的解题流向,一目了然,浑然一体,头脑中将形成稳定而牢固的常识脉络图,真正做到了以一当十,再也没有必要去为巩固同一个常识点而做很多相似题,避免了浪费宝贵时间的恶性循环,自然也就大大提高了学习效率.

2应重视“算理”的思维训练

    三角化简求值问题中会涉及很多运算,若在运算过程中不考虑运算对象的结构特征所蕴含的算理,学生就会觉得这一部分的复习就是“死做题”,归根结底底是学生仅仅是僵硬地套公式,并未从运算的道理去寻找规律.若在复习时,教师引导学生从算理上加以分析,能有效地提升学生对问题的认识深度,较好地训练学生思维的层次感.

    2 化简:·

运算的起点:首先是让学生明确任务——去掉“根号”,如何去掉根号?(这是解题的心理倾向,也是算理的源头)有哪些途径可以达到“去根号”的效果?

形成策略:第一种策略是分子分母同乘一个式,比如 可同乘 ;第二种策略是用二倍角公式将 转化为 .

形成策略后,下面的操作需要经过分析才可顺利进行.所给形式具有轮换性和对称性,从算理上讲可以实行“一致操作”——四个根式所实行的操作是一致的,不可杂乱无章地一会用第一种策略转化,一会又换用第二种策略,这样势必打破解题系统的自身平衡,使解题增加许多不必要的步骤而使解题变得繁琐,甚至使解题方向走偏.其次,在选用一种策略进行一致操作时,也应注意操作的方式和最终的操作效果保持一致,比如 同时乘以 ,在此操作中 得到的化简效果是分母相对简单一点的形式—— = ,关注操作后的效果能有效指引后面式的操作方式,即也应使第二个根式 化成分母相对简单一点的形式,最好能形成与第一个式相匹配的式.因此,根式 应该乘以 ,化简为 .至此,便发现用第一种策略的操作规律:分子分母同乘以分式的分子,这是通过已有操作活动加以再次操作验证发现的思维程式,并将用之进行类似的思维操作,这样的“一致操作”基本算理伴有操作性思维的训练,无疑对学生的思维品质训练大有裨益.

3要重视提高学生的问题表征能力

数学表征是数学学习对象的一个替代,从某种意义上讲,对数学问题的表征得越准确对问题的解决越有利,数学解题能力与数学表征能力密切相关,而这一点往往被大家忽视,所以,提高学生的问题表征能力是高三复习中不可缺少的一个环节.问题表征能力不仅包括对实际问题的数学表征,而且在解决任何数知识题的过程中都存在;不仅包括数学对象的形式化的表征,也包括对研究问题的思维过程与认知方式的表征.

    3 对“ ”的表征认识

    符号表征:将表征对象通过对名称差异、角的关联进行识别,形成问题的外在表征方式,形成解题模式:化同名或化同角.

    图形表征:绘制适当的图形,有时是对问题表征的有力工具,这一过程是化抽象为具体,可以清楚地呈现出信息间的关系或规律,从而有利于发现解题的结果和方向.

    通过适当表征揭示出对象的内在联系和思维过程,并作出合理的预估和调控.

    4 已知sinx= ,求cosx的值.

多数学生是不容易想到“寻找角的关系来消除角差异”的思路——cosx=cos[(x)+]=cos(x)cossin(x)sin=…,其中蕴藏着“将所求角用已知角表示”的转化思想,如果大家将这一转化思想用数学符号加以表征:令a= x,则问题“已知sin(x)= ,求cosx的值.公式鉴赏:数学公式教学的新视角
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