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研究成果
公式鉴赏:数学公式教学的新视角
发布时间:2014-11-02 00:00:00  发布人:丁益民

公式鉴赏:数学公式教学的新视角

丁益民 

江苏省苏州实验中学(225011

《中学数学研究》2012年第12

大家知道,数学公式表征了自然界不同事物的数量之间的相等或不等的联系,它确切地反映了事物内部和外部的关系,是大家从一种事物到达另一种事物的认识依据,使大家更好地理解事物的本质与内涵.诚然,公式教学是数学教学的重要组成部分,公式教学对训练思维、培养能力有着非常重要的作用,但由于公式具有高度的抽象性和概述性,学生对公式的学习更多地停留在浅表的结构记忆上,导致公式的认识偏颇甚至错误,对公式的认识不到位问题是教学中极其普遍的问题之一.如果教师在公式教学时能让学生从鉴赏的眼光去学习数学公式,那么学生对公式的认识就会从易接受走向越来越深刻.本文就在公式教学中如何引导学生对公式进行鉴赏谈谈个人的浅见,敬请指正.

1.从数学公式的外在结构进行鉴赏,让学生感受数学之美

大家知道,很多公式的结构具有对称、轮换、相似等特点,对学生而言,这些特点无论是视觉感受还是认知形成都是容易接受的,正是数学公式的这种特有的美触动着学生的心灵,影响着学生的审美情趣.所以,大家可从数学公式良好的外在结构上引导学生对公式进行鉴赏,让学生在感受数学公式外在之美的同时逐步感受内在本质.

例如大家在讲授正弦定理时,除了重点去讲授正弦定理的证明过程外,对正弦定理结构的鉴赏也是非常重要的,在正弦定理 结构中蕴涵了极其和谐统一的结构特征,学生最初对公式形成的记忆更多的是和谐统一之美带来的形象性记忆.

再比如讲《等差数列前n项和公式》时,让学生将求和公式 与梯形面积公式 进行结构相似的鉴赏,实践表明,结构的相似性不但引起学生对公式表征形式的关注,更重要的是引发了学生对自我认知的补充意识(将形式一致或相似的公式进行系统归类),当然对公式进行形象性记忆的同时必定会感受到数学之美,因此也极大地提升了数学的学习兴趣.

2.从公式间的关联性上进行鉴赏,让学生的认识融会贯通

其实,在新公式建构后不应急于应用,“磨刀不误砍柴工”,适时地引导学生将新公式与旧公式(公式本身不存在新旧之分,只是从出现的先后顺序加以区分)进行比较,寻找关联,侧重从公式间的相互关系(包括逻辑关系、因果关系等)进行鉴赏,使学生能在整体观下找到公式自身的规律和与其他公式间的联系,提高了公式的教学深度和记忆效果.

如对“对数运算法则”公式的鉴赏:

引导学生从3个公式之间进行鉴赏:

从运算的等效性上看, 实质是一致的(即所谓的“+”“×”“÷”一致),而 的本质又是相通的(即乘法源于加法),一旦让学生认识到三个公式之间的内在联系,学生进行公式记忆时便轻松很多,同时也为公式的运用提供了必要的准备.

引导学生从对数运算与指数运算之间进行鉴赏:

从运算的功能性上看,指数运算法则与对数运算是相互联系和相互贯通的:

           对数运算法则                       指数运算法则

                        

对数运算中是由“+”到“×”,是“升级”的运算,而指数运算中则是由“×”到“+”,是“降级”的运算,这说明了对数运算与指数运算是一对互逆运算,是对同一关系的不同表达,学生在此过程中将公式间的外部联系了然于胸,这种认识是逻辑性的理性认识.

通过以上两方面的鉴赏,学生定能抓住公式的内部和外部的各种联系,进而在头脑里形成思维性记忆,思维性记忆是一种本质性记忆,形成的记忆效果是整体而稳固的.

3.从公式的不同认识形式上进行鉴赏,让学生拓宽认识视野

有些公式的形态特征或运算特征决定了公式的呈现方式具有多种形式,若能适时地引导学生对公式进行不同形式的鉴赏,既可以提高公式的理解深度,又增强了公式运用时的灵活性,同时也给教师开发公式的教学空间提供了契机.

如学习柯西不等式时,大家可以按照它不同形式呈现的先后顺序引导学生对柯西不等式进行多角度的鉴赏:

初出茅庐:苏教版必修4·P77练习第3题:求证: .

这是柯西不等式的向量形式,学生此时对其认识只是形式上的,并非本质的,但若将此题简单地当成数量积运算的应用一带而过,便失去一次较好的鉴赏机会,也丢失了对柯西不等式认识的一个重要视角.

重出江湖:在苏教版必修5·P91习题341题:求证:

大家可将上式适当变形为 ,这是柯西不等式的二维代数形式,学生此时会逐步感觉到这个不等式的内涵,如再结合向量形式,令向量形式中的 ,学生的认知在此过程中得到了衔接,增强了公式表现手法,拓宽了公式的认识视野.

三顾茅庐:在学习必修3统计关于样本的均值和方差(或选修2-3概率中离散型随机变量的希望与方差)时,大家将方差公式 变形如下:

,由于

于是 ,即

这是柯西不等式的概率统计形式,学生在鉴赏中感受数学魅力的同时必定又一次拓宽了认识视野,对柯西不等式的理性认识也进了一步,更重要的一点是为培养学生思维的灵活性和发散性提供了范例.

4.从公式的两端进行“收”“展”双向鉴赏,为学生使用公式提供示范

很多公式都有这样一个显著特征:公式左端(或右端)是比较复杂的形式,而另一端则比较简单,从动态的角度来看,大家将从复杂的一端到简单的一端的过程视为公式的“收”,将从简单的一端到复杂的一端的过程则视为“展”(当然这样的“收”“展”是符合逻辑的演绎过程.若能在公式教学时,引导学生从“收”“展”的角度对公式进行双向鉴赏,能增强公式的认知动感,帮助学生建立起认识公式的视角,同时也让学生体会到公式在使用时的两个方向——正用与逆用,也为公式的灵活使用提供了示范.

比如,二项式定理“理解数学”在课堂教学中的应用
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