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研究成果
“理解数学”在课堂教学中的应用
发布时间:2014-11-02 00:00:00  发布人:丁益民

“理解数学”在课堂教学中的应用

——来自“直线的方程”课堂案例的启示

江苏省苏州实验中学   丁益民(215011

发表在《数学通讯》2012年第11

人教社章建跃博士在文[1]提出教师应准确“理解数学”——“了解数学常识的背景,准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义,深刻领悟内容所反映的思想方法,具有挖掘常识所蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技术,善于区分核心常识和非核心常识等”,反观当前课堂教学,各种不符合新课改理念的教学行为仍充斥着课堂教学,归根到底是教师未能准确“理解数学”,导致教学设计目标不甚明确,教学活动的组织不能服务于学生的发展.笔者就以“直线的方程”为例,谈谈一些浅薄的看法,敬请斧正.

1.几个教学片断的回顾

●片断1:对直线的方程方程所表示的直线二者关系的处理

苏教版教材在推出直线点斜式方程后,做了如下的说明:

可以验证:直线l上的每个点(包括点P1)的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线l.”

    在一次听课时,一位教师原本不动地读了这一段文字,学生是茫然一片.

●片断2:推导直线方程各种形式的不同组织方式

在一次同题异构的教研活动中,有二位老师采取如下两种组织方式推导直线方程的一般式:

甲教师的引入:复习回顾已学习过的直线方程的形式

点斜式:   斜截式:   

两点式:    截距式:

问题:上述形式都有各自的缺陷和限制条件,能不能找一个形式表示平面内所有直线的方程?

乙教师的引入: 请同学们将已学习过的直线方程的各种形式之间进行互化:

点斜式→斜截式 截距式

两点式

问题:能否将它们都化为一种统一的形式?

  片断3:直线的方程复习课常识体系的流程图

直线的几何生成方式→直线的代数表达形式(直线的方程)

一般式方程

两点确定一条直线  →两点式→截距式

一点和一个方向确定一条直线→点斜式→斜截式

小结:这对后面大家学习圆、圆锥曲线起到一个示范的作用.

二、教学片断的剖析

关于片断1出现的问题是绝大多数教师一直困惑的问题,有些教师所持观点是:这段文字表达的意思是显见的事实或者过于抽象,在教学中(特别是学生一开始接触解析几何时)不愿去说明而回避甚至舍去.大家认为,这恰恰是对数学常识理解有失偏颇的一种表现.从数学教学的思想性和功能性上来看,恰当地对此处理是大有必要的——首先,这是常识逻辑性的必要说明,大家知道求轨迹方程中必须满足纯粹性和完备性的二重特征,只有这样的逻辑说明才能让学生体会到几何图形与代数性质的统一,充分感受到解析几何的本质所在,也能从中体会到数学的严谨性和科学性;其次,这样的逻辑说明本是在学生已有认知结构中进行认知提升和补充的思维活动——原有认知是数轴上点与实数、平面内的点与平面直角坐标系下的坐标之间是一一对应关系,即点是坐标的几何形式,坐标是点的代数表达,二者是同一对象的不同表达;现在学习的“直线的方程”和“方程所表示的直线”也不例外地属于同样的“二重性”系统中,必要的说明必定能唤起学生认知结构的共鸣,进一步完善已有的认知系统.

 片断2两位教师的组织方式都是以学生已有认知为教学活动的起点,比较两种组织方式,大家不难发现两种方式所体现的设计意图是不同的.组织方式一是从学生已有认知中的直线方程若干形式的“缺陷”为探究起点的,从心理上触发了学生的认知需求,在这样一种完善认知的心理驱使下形成探求愿望,让学生迅速进入学习角色有着积极的推动作用,而且这样的问题情境的目标性非常明显,对后面的教学活动有导向的效能,不难看出这样组织下的结果是将直线方程的一般式看成与其他四种形式地位平行的一种形式;组织方式二是将新常识的获得基于学生对已有认知的整合活动,即从寻找常识间相互联系和内在关系研究起,先让学生体验常识获得的一种操作性思维,然后按照这样的思维程式进行新的思维训练,并将新的思维成果与前面的对象进行区别与比较,实质上这属于探究性活动的表现,能较好地把握住常识间的相互联系,当然这样的组织方式对学生所需的抽象能力和逻辑推理能力更高,从培养学生较高的数学素养和感受数学的思想性层面上讲,这样的组织方式是较有利的.

片断3是通过课堂小结活动将已学常识的形成脉络及常识间联系进行梳理,并通过它引导或引导学生在今后的学习中用类似的学习方式和思维方式进行学习,大家可以仿此在学习“圆”时让学生思考以下类似的问题:

圆的几何生成方式有哪些呢?

能不能将它化成代数的方程形式?

圆有没有一般式?一般式是什么?

不难看出“直线的方程”这一节内容的学习对整个解析几何的学习起到了方向引领的作用,将“直线的方程”学习的过程提炼出流程图能清晰地呈现给学生学习的一种“方法”,这可能在潜移默化中改变着学生的学习方式,同时对学生从整体上认识解析几何的本质也是大有裨益的.

.几点关于“理解数学”的思考

1.重视常识科学内涵,提升数学学习的价值取向

设计合理的教学活动对教学目标的准确把握起到关键作用,而把握的准确程度直接影响到教学内容的达成度,教学活动的设计取决于常识本身的价值取向,不同的价值取向产生的教学设计是不同的,教师对数学本质的理解层次也影响着教学设计的理念和品位,必定在不同层面上影响学生学习的有意义成分——对常识本质理解得越到位越准确,越能促使学生在原有认知范围内对常识形成理性认识,越能抓住常识的本质属性.

2.根据实际学情需求,灵活调控教学活动的组织方式

一个数学概念,由相关的要素按特定结构或一定关系构建而成的,接受者需要恰当地将相关信息组织起来形成新的意义.这些要素,可能是接受者新接受的信息,也可能是接受者已经掌握的信息,学习者要按层次关系或逻辑顺序将这些要素重新组合起来,产生一个新的常识意义,即概念结构.不同的重组方式对学生的数学影响是不同的,组织方式既要在学生已有认知结构中理性操作,也要尽可能地让学生在数学观念、学问、精神等方面有所感受体会.

在教学中,教师应根据实际的教学环境和学生的认知水平,灵活选择适合不同层次学生数学发展的教学活动组织方式,为学生的数学学习和发展提供基础.

3.全面审视常识体系,为学生的学习提供先行组织者

大家发现,很多新概念形成的过程对后续相关同构常识的学习起到“方法论”指向效能,即最先学习常识的认知过程、思维训练过程、意识提升过程为今后学习同类对象提供了可操作可借鉴的范式,这些常识便自然地成为后续同构常识的“先行组织者”,同时也成为整个常识体系中较为一致的学习方式和思维训练程式.鉴于此,大家在有关新概念的教学中要全面审视常识的内涵,重视常识的生成过程.

 [1] 章建跃. 中学数学课改的十个论题[J]. 中学数学教学参考, 2010(3).



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