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研究成果
《求曲线的方程》的教学设计与评注
发布时间:2014-11-02 00:00:00  发布人:丁益民
《求曲线的方程》的教学设计与评注
丁益民
江苏省苏州实验中学 215011
发表在《中小学数学》2012年第5期
1.情境设置应侧重于其教学的功能性
引入:数学家克莱因说过这样一句话:“解析几何彻底改变了数学的研究方法”.
此话简明扼要地道出了解析几何的本质——用代数的方法解决几何问题.其实,大家在学习直线、圆、圆锥曲线时就已经熟练掌握了这种方法.今天大家进一步学习.请看如下问题:
情境1:一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑,一只猫坐在梯子的正中间不动.试求在梯子下滑过程中猫的运动轨迹.
大家需要将现实问题数学化,抽象成纯粹的数知识题:
已知一个直角,一条长度为a的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动,求线段中点的轨迹.
评注:情境设置的主要功能是对数学对象的呈现和数学活动的开展起积极导向作用,好的情境能引发学生对认知结构进行完善的自我需求的心理趋向,亦能较好地引导学生迅速进入学习环境和思考状态,为后面的活动提供方向性的助推作用.
2.用问题(问题链)引发学生的思维活动
问题1:在这个过程中,哪些量不变?哪些量改变?
生1:线段的长度不变;
生2:中点以及线段的两个端点都改变了;
问题2:如何用代数的方法来处理这些“量”?
问题2.1:回忆椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的推导过程,大家经历了哪些步骤?
建系——设点——找限制条件(列式)——代点——化简(检验)(简称“建设现代化”)
问题2.2你能将上述的变量和不变量用代数语言表示吗?
生:(建系)分别以两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系
(设点)设M的坐标为(x,y), (变量代数化)
(限制条件)由于 是直角三角形,M为斜边AB的中点,所以
由于 , (不变量代数化)
(上述活动是学生是在已有认知的“最近发展区”内进行的类比、抽象等思维活动,同时也发生了顺应与同化的心理活动.)
(代点) ,
(化简) .
所以,中点的轨迹方程是 ( ),方程所表示的曲线是圆弧.
(上述活动是学生实施逻辑推理的思维活动,是在已有经验的支配下经历感悟、操作并进行本质揭示的操作性思维活动.)
评注:数学中的活动是学生思维的活动,通过恰当的问题或问题链引导学生进行思维活动,是达成常识建构的有效途径.从而,对问题的设计要有思维的空间,不宜过大、过细、过空,并且提出问题后要善于等待,留出足够多的时间让学生去进行真实地思维活动,只有切身经历的思维训练才会给学生产生比较深刻的影响.
3.理论建构应站在方法论的上位
通过刚才探索的过程,大家可以提炼出求曲线方程的一般步骤,
●求曲线的方程的一般步骤:
建系——设点——找限制条件(列式)——代点——化简——检验
说明:一般情况下,只要化简过程是等价变形的,最后一步可省略不写.
问题3:如果猫没有坐在梯子的中间,而是距离下方1/3处,那么,在梯子下滑的过程中,它又沿怎样的一条路线运动?
师:大家可以先猜想一下是什么曲线,牛顿说过:没有大胆的猜想,就没有伟大的发现.试试看?
生的猜想:有可能是圆,也有可能是椭圆,也有可能是抛物线……
师继续:猜想只是感性认识,大家应该通过已学的常识将上述问题上升到理性认识——只要大家求出动点的轨迹方程,就可确定它是什么曲线了?(本质的认识,价值的揭示)
将问题3数学化:
例1:已知一个直角,一条长度为a的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动,点P在线段的 处(靠下端),求点P的轨迹.
解:分别以两条互相垂直的直线为坐标轴,建立如图所示的直角坐标系
Mx,y)则
由于
代入点的坐标
化简得
所以Mxy)的轨迹方程式 ,所以猫的运动轨迹是椭圆弧.
评注:常识的理论建构其实就是对常识进行归纳、概述、抽象的过程,站在“方法论”的上位对常识进行理性认识并合成稳定的常识系统,从学生层面来讲,是在他们已有的认知结构中形成较为规范的认知补充和观念完善;同时,有必要让学生在已有经验的支配下理性地认识到所学常识的价值——尤其是科学价值,这是课堂教学的精髓所在,也是培养学生理性思维的最佳契机.
4.常识应用应立足于巩固体系并引导鉴赏常识
师:大家回顾一下椭圆和双曲线定义(对已学概念的“再回首”)
椭圆的定义:动点 到两定点 距离和为定值 ,即 的轨迹是椭圆;
双曲线的定义:动点 到两定点 距离差的绝对值为定值 ,即 的轨迹是双曲线;
问题4:平面内到两定点AB的距离之比等于 的动点M的轨迹是什么呢?
(提出问题比解决问题更重要,不是学生不想提出问题,而是不知从哪里提出问题,所以,教学中提供“提问题”的范式,培养学生提问题的切入点.)
师:为了研究的方便,大家取 ,问题变成:
例2:求平面内到两定点AB的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.
师:语文、美术、音乐都有鉴赏,大家数学也有鉴赏:
数学鉴赏1:由轨迹方程可知这样的轨迹是圆,这是著名的阿波罗尼斯圆,阿波罗尼斯是古希腊数学家,与欧几里得阿基米德齐名,他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果. (数学学问是数学课堂中必备的元素,是人文观念的提升.)
再思考:距离之“和”、“差”、“比”的轨迹都有了对应的轨迹,那么动点到两定点的距离之积的轨迹又是什么呢?
大家可以用上面的方法求得轨迹方程:
解:设两定点间距离为 ,两定点为 和 ,设动点
依题意得: ,
即: ,
平方整理即得: ,
师:方程似乎没有椭圆、双曲线、圆方程那么“好看”,但大家能通过方程发现它轨迹的几何性质——它是对称的图形.
用《几何画板》作出它的轨迹(如下图):
数学鉴赏2:图形很非常漂亮,这是著名的卡西尼卵形线,看起来遥不可及,其实它离大家不远,看:
北京2011年高考第14题:曲线C是平面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点的轨迹,给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则 的面积不大于 .
其中,所有正确结论的序号是____________.
评注:用已学的新常识对旧常识进行反思性的鉴赏,是常识内化成观念的一种较为有效的途径,同时也给学生提供了正确的科学态度;另外,在教学中,抓住契机渗透数学内涵(如数学学问)是非常有必要的,从宏观上讲,数学就是一种学问,让学生感受数学的学问价值是数学教学“思想性”的体现与保证.
5.回顾反思应具有承前启后的功用
你学习了哪些常识?哪些思想方法?
常识的线路:
问题情境→求曲线方程的步骤→重新探究已学的定义→解决新问题
学生共同总结出本节课的所学常识与思想.
师: 大家这一节课虽然结束了,但大家的探究之路才刚刚开始,同学们可以借助今天所学常识去重新审视旧常识,开启新的探究之旅.
评注:回顾反思的功能定位应具有承前启后的功能,即对本节课所学常识进行整理和总结,突出本节课的常识与思想,同时也为后续学习和课后拓展提供了方法和思想上的引导,应具有意味深长之境.


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